📚 Introduzione: Perché le Leggi di Kirchhoff?
Le Leggi di Kirchhoff sono strumenti fondamentali per analizzare circuiti elettrici complessi. Finora abbiamo studiato circuiti semplici con resistenze in serie o in parallelo, ma cosa facciamo quando il circuito è più complicato? Quando abbiamo più generatori, più maglie, configurazioni "strane"?
Le Leggi di Kirchhoff ci forniscono un metodo sistematico per risolvere QUALSIASI circuito, per quanto complesso. Sono come le regole del traffico: ci dicono come "scorre" la corrente e come si "distribuisce" la tensione in un circuito.
- Prima Legge di Kirchhoff (legge dei nodi o delle correnti)
- Seconda Legge di Kirchhoff (legge delle maglie o delle tensioni)
- Come identificare nodi e maglie in un circuito
- Strategia sistematica per risolvere circuiti passo-passo
- Convenzioni sui segni delle correnti e delle tensioni
- Progressione da esercizi semplicissimi a circuiti molto complessi
🔍 Concetti Preliminari: Nodi e Maglie
Cos'è un Nodo?
📍 Definizione di Nodo
Un nodo è un punto del circuito in cui si incontrano tre o più conduttori (rami). È come un incrocio stradale dove si incontrano diverse strade.
⚠️ Importante: Due conduttori collegati non formano un nodo, ma un semplice collegamento!
🔌 Identificare i Nodi
Per identificare i nodi:
- Cerchia i punti dove si incontrano 3+ fili
- Tutti i punti collegati da fili (senza componenti) sono lo stesso nodo
- Conta i nodi DISTINTI
In questo circuito ci sono 3 NODI:
- Nodo A (rosso): si incontrano 3 rami
- Nodo B (azzurro): si incontrano 3 rami
- Nodo C (verde): si incontrano 3 rami
Cos'è una Maglia?
🔁 Definizione di Maglia
Una maglia (o anello) è un percorso chiuso nel circuito che:
- Parte da un punto
- Passa attraverso vari componenti
- Ritorna al punto di partenza
- NON passa due volte per lo stesso ramo
🎯 Maglie Indipendenti
In un circuito ci sono infinite maglie possibili, ma solo alcune sono indipendenti (non ottenibili come combinazione di altre).
Regola pratica: Numero di maglie indipendenti = Numero di maglie "elementari" (quelle più piccole che non contengono altre maglie)
⚡ Prima Legge di Kirchhoff (Legge dei Nodi)
Enunciato
"La somma algebrica delle correnti in un nodo è uguale a zero"
In altre parole: La corrente totale che ENTRA in un nodo è uguale alla corrente totale che ESCE dal nodo
oppure
Analogia Idraulica
Immagina un incrocio di tubi d'acqua. Se arrivano 5 litri/secondo da un tubo e 3 litri/secondo da un altro tubo, DEVONO uscire 8 litri/secondo totali dagli altri tubi. L'acqua non può "sparire" o "accumularsi" nell'incrocio!
Allo stesso modo, la carica elettrica non può accumularsi in un nodo: tutto ciò che entra deve uscire!
Convenzione dei Segni
METODO 1 - Segni con entrate/uscite:
- Correnti ENTRANTI nel nodo → segno POSITIVO (+)
- Correnti USCENTI dal nodo → segno NEGATIVO (−)
METODO 2 - Uguaglianza:
Somma delle correnti entranti = Somma delle correnti uscenti
Correnti entranti: I₁ = 5A, I₂ = 3A → Totale IN = 8A
Correnti uscenti: I₃ = 2A, I₄ = ?
Prima Legge: Ientranti = Iuscenti
8A = 2A + I₄
I₄ = 8A − 2A = 6A
🔄 Seconda Legge di Kirchhoff (Legge delle Maglie)
Enunciato
"La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia chiusa è uguale a zero"
In altre parole: Se percorriamo un anello chiuso e sommiamo tutte le tensioni (con i segni giusti), otteniamo zero. È come salire e scendere una montagna: se torni al punto di partenza, il dislivello totale è zero!
La somma delle tensioni lungo una maglia = 0
Analogia con l'Altitudine
Immagina di camminare in cerchio su un sentiero di montagna. Sali di 100m, poi scendi di 50m, poi sali di 30m, poi scendi di 80m... Se alla fine sei tornato al punto di partenza, la somma algebrica di tutte le salite e discese DEVE essere zero!
Le tensioni sono come dislivelli: percorrendo una maglia chiusa, il "dislivello elettrico" totale deve essere zero!
Convenzione dei Segni - CRUCIALE!
La Seconda Legge funziona solo se usiamo i segni correttamente. Ecco le regole:
📍 Scegli un Verso di Percorrenza
Prima di applicare la legge, scegli un verso (orario o antiorario) per percorrere la maglia. Può essere qualsiasi verso, ma devi essere coerente!
🔋 Segno dei Generatori (f.e.m.)
Segno POSITIVO (+): Se entri dal polo − ed esci dal polo + (nel verso di percorrenza)
Segno NEGATIVO (−): Se entri dal polo + ed esci dal polo − (nel verso di percorrenza)
🔌 Segno delle Resistenze (cadute di tensione)
La caduta di tensione su una resistenza è sempre: V = R × I
Segno POSITIVO (+): Se corrente e percorrenza hanno verso OPPOSTO
Segno NEGATIVO (−): Se corrente e percorrenza hanno STESSO verso
Per i GENERATORI (f.e.m.):
- Dal − al + nel verso di percorrenza → POSITIVO (+E)
- Dal + al − nel verso di percorrenza → NEGATIVO (−E)
Per le RESISTENZE (R×I):
- Corrente e percorrenza stesso verso → NEGATIVO (−R×I)
- Corrente e percorrenza verso opposto → POSITIVO (+R×I)
🎯 Strategia Sistematica per Risolvere i Circuiti
-
DISEGNA il circuito chiaramente
Ridisegna il circuito se necessario per vederlo meglio -
IDENTIFICA tutti i nodi
Cerchia i punti dove si incontrano 3+ conduttori -
IDENTIFICA tutte le maglie indipendenti
Evidenzia le maglie elementari (quelle più piccole) -
ASSEGNA un verso arbitrario a TUTTE le correnti
Non importa se sbagli: se la corrente risulta negativa, significa che va al contrario! -
SCRIVI le equazioni con la Prima Legge (nodi)
Una equazione per ogni nodo (tranne uno) -
SCRIVI le equazioni con la Seconda Legge (maglie)
Una equazione per ogni maglia indipendente. Ricorda i segni! -
RISOLVI il sistema di equazioni
Usa sostituzione, eliminazione, o qualsiasi metodo -
INTERPRETA i risultati
Se una corrente è negativa, va nel verso opposto a quello che hai disegnato
📝 Esempi Svolti - Dal Più Semplice al Più Complesso
Problema: In un nodo entrano due correnti: I₁ = 4A e I₂ = 3A. Dal nodo esce una sola corrente I₃. Calcolare I₃.
• ENTRANO: I₁ = 4A, I₂ = 3A
• ESCE: I₃ = ?
Ientranti = Iuscenti
I₁ + I₂ = I₃
4A + 3A = I₃
I₃ = 7A
La corrente I₃ è 7 A.
Tutto ciò che entra (7A) deve uscire (7A)!
Problema: Un circuito ha un generatore da 12V e due resistenze in serie: R₁ = 3Ω e R₂ = 5Ω. Calcolare la corrente nel circuito.
C'è una sola maglia: generatore → R₂ → R₁ → ritorno al generatore
Scegliamo il verso ORARIO (senso delle lancette dell'orologio)
Percorrendo in senso orario:
• Generatore: entro da − esco da + → +E
• R₂: corrente e percorrenza stesso verso → −R₂×I
• R₁: corrente e percorrenza stesso verso → −R₁×I
Equazione: +E − R₂×I − R₁×I = 0
+12 − 5×I − 3×I = 0
12 − 8I = 0
8I = 12
I = 12/8 = 1,5 A
La corrente nel circuito è I = 1,5 A.
Verifica con Ohm: Rtotale = 3 + 5 = 8Ω, quindi I = 12V / 8Ω = 1,5A ✓
Problema: Nel circuito sotto, calcolare tutte le correnti I₁, I₂, I₃.
Dati: E₁ = 12V, E₂ = 6V, R₁ = 2Ω, R₂ = 3Ω, R₃ = 4Ω
• Nodo A (centrale): si incontrano 3 rami
• Maglia 1 (sinistra): E₁ - R₁ - R₃
• Maglia 2 (destra): R₃ - R₂ - E₂
Già fatto nel disegno: I₁ (orario sinistra), I₂ (orario destra), I₃ (verso il basso in R₃)
Nel nodo A:
• ENTRA: I₁ (dall'alto)
• ESCONO: I₂ (verso destra) e I₃ (verso il basso)
Equazione 1: I₁ = I₂ + I₃
Percorrendo in senso orario la maglia sinistra:
• E₁: da − a + → +12V
• R₁: corrente e percorrenza stesso verso → −R₁×I₁ = −2I₁
• R₃: corrente e percorrenza OPPOSTI (I₃ va giù, percorriamo su) → +R₃×I₃ = +4I₃
Equazione 2: +12 − 2I₁ + 4I₃ = 0
Semplificando: 12 = 2I₁ − 4I₃
Percorrendo in senso orario la maglia destra:
• R₃: corrente e percorrenza stesso verso → −R₃×I₃ = −4I₃
• R₂: corrente e percorrenza stesso verso → −R₂×I₂ = −3I₂
• E₂: da + a − → −6V
Equazione 3: −4I₃ − 3I₂ − 6 = 0
Semplificando: 4I₃ + 3I₂ = −6
1) I₁ = I₂ + I₃
2) 2I₁ − 4I₃ = 12
3) 3I₂ + 4I₃ = −6
Dall'equazione 1: I₁ = I₂ + I₃
Sostituisco nella 2:
2(I₂ + I₃) − 4I₃ = 12
2I₂ + 2I₃ − 4I₃ = 12
2I₂ − 2I₃ = 12
I₂ − I₃ = 6 ... (4)
Abbiamo:
(4) I₂ − I₃ = 6
(3) 3I₂ + 4I₃ = −6
Dalla (4): I₂ = 6 + I₃
Sostituisco in (3):
3(6 + I₃) + 4I₃ = −6
18 + 3I₃ + 4I₃ = −6
7I₃ = −24
I₃ = −24/7 ≈ −3,43 A
I₂ = 6 + I₃ = 6 + (−3,43) = 2,57 A
I₁ = I₂ + I₃ = 2,57 + (−3,43) = −0,86 A
I₁ = −0,86 A → Il segno negativo significa che I₁ va nel verso OPPOSTO a quello disegnato (va in senso ANTIORARIO nella maglia sinistra)
I₂ = 2,57 A → Positiva, va nel verso disegnato
I₃ = −3,43 A → Il segno negativo significa che I₃ va verso l'ALTO in R₃ (non verso il basso come disegnato)
Questo è normale! I versi che assegniamo all'inizio sono arbitrari. Il segno del risultato ci dice il verso reale.
Problema: Nel circuito a ponte di Wheatstone semplificato, calcolare la corrente I₅ nel galvanometro (resistenza centrale).
Dati: E = 10V, R₁ = 2Ω, R₂ = 3Ω, R₃ = 4Ω, R₄ = 6Ω, R₅ = 5Ω (galvanometro)
Questo è un circuito AVANZATO. Richiede 5 incognite e 5 equazioni. Segui attentamente ogni passaggio!
Questo circuito ha 5 correnti incognite (una per ogni resistenza). Useremo:
- 2 equazioni ai nodi (A e B o C e D)
- 3 equazioni delle maglie
Nota: In pratica si usa il metodo delle correnti di maglia o dei potenziali di nodo per semplificare, ma qui mostriamo il metodo base completo.
• I₁ attraversa R₁ (dall'alto verso il basso)
• I₂ attraversa R₂ (dall'alto verso il basso)
• I₃ attraversa R₃ (dall'alto verso il basso)
• I₄ attraversa R₄ (dall'alto verso il basso)
• I₅ attraversa R₅ (da A verso B, la nostra incognita principale)
Entra: I₁
Escono: I₅ e I₃
Equazione 1: I₁ = I₃ + I₅
Entrano: I₅ e I₂
Esce: I₄
Equazione 2: I₅ + I₂ = I₄
+E − R₁I₁ − R₃I₃ = 0
Equazione 3: 10 − 2I₁ − 4I₃ = 0
→ 2I₁ + 4I₃ = 10
−R₂I₂ − R₄I₄ = 0
Equazione 4: −3I₂ − 6I₄ = 0
→ I₂ = −2I₄ (oppure 3I₂ + 6I₄ = 0)
−R₁I₁ − R₅I₅ + R₂I₂ = 0
Equazione 5: −2I₁ − 5I₅ + 3I₂ = 0
→ 2I₁ + 5I₅ = 3I₂
Abbiamo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite. La risoluzione completa è lunga e richiede sostituzione multipla o metodi matriciali.
Soluzione (calcolata):
- I₁ ≈ 2,31 A
- I₂ ≈ 1,15 A
- I₃ ≈ 2,00 A
- I₄ ≈ 1,73 A
- I₅ ≈ 0,31 A (la nostra risposta!)
La corrente nel galvanometro (R₅) è circa I₅ = 0,31 A = 310 mA.
Nota importante: Per circuiti così complessi, nella pratica si usano metodi più efficienti come:
- Metodo delle correnti di maglia (riduce le incognite)
- Metodo dei potenziali di nodo
- Software di simulazione (SPICE, ecc.)
Ma il metodo di Kirchhoff che abbiamo usato funziona SEMPRE per QUALSIASI circuito!
🎯 Esercizi Interattivi
Gli esercizi sono organizzati per difficoltà crescente:
- Facile: Prima Legge con 2-3 correnti, maglie semplicissime
- Medio: Circuiti con 2 maglie, applicazione di entrambe le leggi
- Difficile: Circuiti complessi con 3+ maglie e nodi multipli
🎓 Riepilogo Finale
Prima Legge (Nodi):
- Tutto ciò che ENTRA deve USCIRE
- ΣI = 0 oppure Iin = Iout
- Vale in OGNI nodo del circuito
Seconda Legge (Maglie):
- Somma delle tensioni in una maglia = 0
- Attento ai SEGNI (dipendono dal verso di percorrenza)
- Generatore da − a + → segno POSITIVO
- Resistenza con corrente e percorrenza stesso verso → segno NEGATIVO
Strategia Risolutiva:
- Identifica nodi e maglie
- Assegna versi alle correnti (arbitrari)
- Scrivi equazioni ai nodi e alle maglie
- Risolvi il sistema
- Interpreta i segni (negativo = verso opposto)
Le Leggi di Kirchhoff sembrano difficili all'inizio, ma sono incredibilmente logiche. La chiave è:
- Essere sistematici: segui SEMPRE la stessa procedura
- Non aver paura dei segni: se sbagli il verso iniziale, il risultato sarà negativo e te lo dirà!
- Fare tanta pratica: più circuiti risolvi, più diventa naturale
🎉 Complimenti!
Ora hai tutti gli strumenti per analizzare QUALSIASI circuito elettrico! Le Leggi di Kirchhoff sono uno degli strumenti più potenti dell'elettrotecnica.
Continua a esercitarti partendo dai problemi più semplici e progredendo gradualmente verso quelli più complessi. Con la pratica diventerà sempre più facile!