🎯 Introduzione
Il teorema della derivata della funzione inversa è uno degli strumenti più potenti del calcolo differenziale. Questo teorema ci permette di calcolare la derivata di una funzione inversa senza dover trovare esplicitamente l'espressione della funzione inversa, il che spesso è molto complicato o impossibile.
Molte funzioni importanti in matematica (come arcoseno, arcotangente, logaritmo) sono funzioni inverse, e questo teorema ci permette di calcolare le loro derivate in modo elegante e diretto.
📚 Richiami: La Funzione Inversa
Cos'è una funzione inversa?
Data una funzione \( f: A \rightarrow B \), si dice che \( f \) è invertibile se esiste una funzione \( f^{-1}: B \rightarrow A \) tale che:
La notazione \( f^{-1} \) indica la funzione inversa, NON il reciproco \( \frac{1}{f(x)} \).
Quando una funzione è invertibile?
Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca (iniettiva e suriettiva). In pratica, per le funzioni reali:
- Iniettiva: ogni valore di \( y \) è raggiunto da un solo valore di \( x \)
- Suriettiva: tutti i valori del codominio sono effettivamente raggiunti
Una funzione continua su un intervallo è invertibile se è strettamente monotona (sempre crescente o sempre decrescente).
🔬 Il Teorema
📖 Teorema della Derivata della Funzione Inversa
Sia \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo \( I \), e sia \( f \) derivabile in un punto \( x_0 \in I \) con \( f'(x_0) \neq 0 \).
Allora la funzione inversa \( f^{-1} \) è derivabile nel punto \( y_0 = f(x_0) \) e vale:
- \( f \) deve essere continua e strettamente monotona
- \( f \) deve essere derivabile in \( x_0 \)
- \( f'(x_0) \neq 0 \) (la derivata non deve annullarsi)
🧮 Interpretazione del Teorema
Il teorema ci dice una cosa molto semplice ma potente: la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione originale, calcolata nel punto corrispondente.
Interpretazione geometrica
Graficamente, il grafico di \( f^{-1} \) è il simmetrico del grafico di \( f \) rispetto alla bisettrice \( y = x \). Se la tangente al grafico di \( f \) nel punto \( (x_0, y_0) \) ha coefficiente angolare \( m = f'(x_0) \), allora la tangente al grafico di \( f^{-1} \) nel punto \( (y_0, x_0) \) (simmetrico) avrà coefficiente angolare \( \frac{1}{m} \).
📝 Metodo Risolutivo Passo-Passo
Ecco i passi da seguire per applicare il teorema e risolvere gli esercizi:
Controlla che la funzione \( f \) sia:
- Continua nell'intervallo considerato
- Strettamente monotona (crescente o decrescente)
- Derivabile
- Con derivata non nulla nel punto di interesse
Determina la relazione tra \( x_0 \) e \( y_0 \):
- Se ti danno \( x_0 \), calcola \( y_0 = f(x_0) \)
- Se ti danno \( y_0 \), trova \( x_0 \) tale che \( f(x_0) = y_0 \)
Trova \( f'(x) \) usando le regole di derivazione standard.
Calcola \( f'(x_0) \) sostituendo il valore di \( x_0 \).
Calcola la derivata della funzione inversa:
💡 Esempi Svolti
Esempio 1: Funzione Cubica
Problema: Sia \( f(x) = x^3 + 1 \). Calcola \( (f^{-1})'(2) \).
📋 Soluzione Passo per Passo:
PASSO 1 - Verifica delle ipotesi:
- ✓ \( f(x) = x^3 + 1 \) è continua su tutto \( \mathbb{R} \)
- ✓ \( f'(x) = 3x^2 \geq 0 \), e \( f'(x) = 0 \) solo per \( x = 0 \), quindi \( f \) è crescente
- ✓ \( f \) è derivabile su tutto \( \mathbb{R} \)
PASSO 2 - Trova il punto corrispondente:
Dobbiamo trovare \( x_0 \) tale che \( f(x_0) = 2 \):
Quindi abbiamo: \( y_0 = 2 \) e \( x_0 = 1 \) con \( f(1) = 2 \).
PASSO 3 - Calcola la derivata:
PASSO 4 - Valuta nel punto:
PASSO 5 - Applica la formula:
Esempio 2: Funzione Esponenziale
Problema: Sia \( f(x) = e^x \). Sapendo che \( f^{-1}(x) = \ln(x) \), verifica il teorema calcolando \( (f^{-1})'(e) \).
📋 Soluzione Passo per Passo:
PASSO 1 - Verifica delle ipotesi:
- ✓ \( f(x) = e^x \) è continua su tutto \( \mathbb{R} \)
- ✓ \( f'(x) = e^x > 0 \) per ogni \( x \), quindi \( f \) è strettamente crescente
- ✓ \( f \) è derivabile su tutto \( \mathbb{R} \)
PASSO 2 - Trova il punto corrispondente:
Dobbiamo trovare \( x_0 \) tale che \( f(x_0) = e \):
Quindi: \( y_0 = e \) e \( x_0 = 1 \).
PASSO 3 - Calcola la derivata:
PASSO 4 - Valuta nel punto:
PASSO 5 - Applica la formula:
Verifica: Calcoliamo direttamente usando \( f^{-1}(x) = \ln(x) \):
Esempio 3: Funzione con Radice
Problema: Sia \( f(x) = \sqrt{x+1} \) per \( x \geq -1 \). Calcola \( (f^{-1})'(2) \).
📋 Soluzione Passo per Passo:
PASSO 1 - Verifica delle ipotesi:
- ✓ \( f(x) = \sqrt{x+1} \) è continua per \( x \geq -1 \)
- ✓ \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0 \) per \( x > -1 \), quindi \( f \) è strettamente crescente
- ✓ \( f \) è derivabile per \( x > -1 \)
PASSO 2 - Trova il punto corrispondente:
Dobbiamo trovare \( x_0 \) tale che \( f(x_0) = 2 \):
Quindi: \( y_0 = 2 \) e \( x_0 = 3 \).
PASSO 3 - Calcola la derivata:
PASSO 4 - Valuta nel punto:
PASSO 5 - Applica la formula:
Nota: Possiamo verificare trovando esplicitamente la funzione inversa. Da \( y = \sqrt{x+1} \) otteniamo \( y^2 = x+1 \), quindi \( f^{-1}(y) = y^2 - 1 \). Derivando: \( (f^{-1})'(y) = 2y \), e quindi \( (f^{-1})'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \). ✓
❗ Errori Comuni da Evitare
⚠️ ERRORE 1: Confondere x₀ e y₀
SBAGLIATO: Calcolare \( f'(y_0) \) invece di \( f'(x_0) \).
CORRETTO: La derivata di \( f \) va calcolata nel punto \( x_0 \), non in \( y_0 \)! Ricorda: \( y_0 = f(x_0) \).
⚠️ ERRORE 2: Non trovare il punto corrispondente
SBAGLIATO: Applicare la formula senza prima trovare \( x_0 \) da \( y_0 \).
CORRETTO: Se ti danno \( y_0 \), devi SEMPRE risolvere \( f(x_0) = y_0 \) per trovare \( x_0 \) prima di procedere.
⚠️ ERRORE 3: Dimenticare di verificare f'(x₀) ≠ 0
SBAGLIATO: Applicare il teorema anche quando \( f'(x_0) = 0 \).
CORRETTO: Se \( f'(x_0) = 0 \), il teorema NON si applica. In questo caso, la funzione inversa potrebbe non essere derivabile in quel punto (es: cuspide).
⚠️ ERRORE 4: Confondere f⁻¹ con 1/f
SBAGLIATO: Pensare che \( f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)} \).
CORRETTO: \( f^{-1} \) è la funzione inversa, NON il reciproco!
🎓 Esercizi Proposti
Prova a risolvere questi esercizi seguendo il metodo passo-passo:
Sia \( f(x) = x^5 + x + 1 \). Calcola \( (f^{-1})'(1) \).
Suggerimento: Prima trova \( x_0 \) tale che \( f(x_0) = 1 \).
Sia \( f(x) = 2x + \sin(x) \) per \( x \in [0, \pi] \). Calcola \( (f^{-1})'(\pi) \).
Suggerimento: Nota che \( f(0) = 0 \) e \( f(\pi) = 2\pi \).
Sia \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) per \( x \geq 1 \). Calcola \( (f^{-1})'(-1) \).
Suggerimento: Controlla prima che \( f \) sia monotona nell'intervallo dato.
📊 Schema Riassuntivo
| Passo | Cosa fare | Formula/Note |
|---|---|---|
| 1. Ipotesi | Verifica continuità, monotonia, derivabilità | \( f \) continua, monotona, \( f' \neq 0 \) |
| 2. Punti | Trova la relazione tra \( x_0 \) e \( y_0 \) | \( y_0 = f(x_0) \) oppure risolvi \( f(x_0) = y_0 \) |
| 3. Derivata | Calcola \( f'(x) \) | Usa le regole di derivazione |
| 4. Valutazione | Calcola \( f'(x_0) \) | Sostituisci \( x_0 \) in \( f'(x) \) |
| 5. Formula | Applica il teorema | \( (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \) |
🔗 Formula Generale
Formula della Derivata della Funzione Inversa
Se \( f \) è invertibile e derivabile con \( f'(x) \neq 0 \), allora:
Oppure, usando la notazione \( x = f^{-1}(y) \):
💭 Conclusioni
Il teorema della derivata della funzione inversa è uno strumento potentissimo che ti permette di calcolare derivate di funzioni inverse senza doverle trovare esplicitamente. La chiave del successo sta nel seguire metodicamente i 5 passi e fare attenzione agli errori comuni.
- La derivata dell'inversa è il reciproco della derivata originale
- Devi sempre trovare il punto \( x_0 \) corrispondente a \( y_0 \)
- Verifica che \( f'(x_0) \neq 0 \)
- Segui il metodo passo-passo per non sbagliare
- \( f^{-1} \) è la funzione inversa, NON \( 1/f(x) \)
Ora che hai capito il teorema, esercitati con molti esempi diversi. Prova a:
- Risolvere gli esercizi proposti
- Applicare il teorema alle funzioni trigonometriche inverse
- Verificare il teorema trovando esplicitamente alcune funzioni inverse